Темпы развития общественного производства в XIX в создали условия для возникновения продуктивных идей в науке, технике, общественном сознании. Металлургия и горное производство были локомотивом этого развития, стимулируя формирование капиталистических общественных отношений, с одной стороны, и инженерную, изобретательскую и научную деятельность, с другой.
Historical background of the idea of mineral deposits geometrization
The author demonstrates that the subsurface resources geometry as a mining science system discipline has been formed as a result of the mining operations' demand in volumetric representation of the prospecting data characterizing the shape, the properties and the concentration composition of the chemical elements in the mine rock.
Д.И. Менделеев 1 марта 1869 г. формулирует свой «Периодический закон», давший толчок развитию химии и ядерной физике; Д. Максвелл (1873 г.) получил уравнение электромагнитного поля и, тем самым, обрек физику на переосмысление механики И. Ньютона; существенное продвижение в понимании процессов, происходящих в Земле, наметилось в геологии; поиск, разведка и обоснование проектных решений отработки месторождений требовали разработки инженерных методов оценки и принятия решений – научная мысль была на пороге новых великих открытий, открытий, которые позволят К.Э. Циолковскому указать человечеству путь в Космос. Наступила эпоха электромагнитной картины мира, сменившей механическую. М. Фарадей , указывая на роль среды, вводит концепцию поля, которое представляется им с помощью силовых линий и которые он считал реально существующим. Понятие поля он впервые ввел в употребление еще в 30-х годах ХIХ в., но только в 1845 г. употребил термин «магнитное поле», а отчетливо сформулировал свою концепцию поля уже в 1852 г. В период 1860-1865 гг. Дж. Максвелл создает аналитическую теорию электромагнитного поля в виде системы уравнений, выражающих все основные закономерности электромагнитных явлений (первые дифференциальные уравнения поля были записаны в 1855-1856 гг.). Дж. Максвелл воспринимает идею М. Фарадея о силовых линиях и разрабатывает способ отображения магнитного поля в форме системы линий, в котором заряды и магнитные полюса представляют собой источники и стоки «текущей жидкости». Он воспринимает среду заполненной молекулярными вихрями; силы, действу- ющие в этой среде, зависят от направления, они формализуются в виде тензора; устанавливает четкую связь между изменениями магнитного поля и возникновением электродвижущей силы (ЭДС). Так зародились математические основы физического поля, в котором фигурируют скалярные и векторные функции, понятия вихря и дивергенции, стоков и источников.
Математическая трактовка стала основой всех физических теорий, овладевая общественным сознанием. В обиход прочно вошел термин «поле», который сопровождался образами в форме отдачи тепла нагретым телом, сил притяжения и отталкивания, магнетизма и электрического взаимодействия зарядов, в которых наблюдалась и была измеряемой основная закономерность - обратная зависимость силы взаимодействия от расстояния. Следует признать, что сущность понятия поля наиболее четко определена в 1931-1932 гг. А.А. Эйхенвальдом в его «Теоретической физике»: «пространство, в котором происходят какие либо физические явления, называется физическим полем. ... Каждое физическое явление, происходящее в пространстве и во времени, уже образует поле. ... Теория поля лежит на границе между физикой и геометрией». Таким образом, поле есть форма представления явления в пространстве. Физическое поле геометризуется путем построения фарадеевских силовых линий, которые независимо от физической интерпретации представляют собой изо-Х-структуру поляризованных микроструктурных элементов материи.
Совершенно исключительная ситуация создалась в геологии и горном промысловом деле к началу ХХ столетия. Учение о рудных месторождениях, как системное и концептуальное обобщение накопившегося эмпирического материала, стало оформляться только в ХVIII в. Во второй половине ХIХ в. на развитие идей о рудных месторождениях значительную роль оказывали традиции Фрейбергской горной академии (Германия) и исследования российских ученых. Основным стремлением отечественных геологов было приблизить общие геологические представления к решению практических задач, что было связано с подъемом горной и металлургической промышленности России.
Параллельно с развитием сугубо геологических представлений о происхождении горных пород и полезных ископаемых к началу ХХ в., в связи с расширением буровых работ при поиске месторождений, возникла необходимость разработки методов и способов разведки месторождений, подсчета запасов, их пространственного изображения на различных проекциях (горизонтальных, вертикальных) в масштабе графических материалов разведки. Одновременно эти материалы стали служить основой для проектирования и организации горных работ. Все это подталкивало инженерную мысль к пониманию того, что графическое отображение в масштабе на плане обеспечивает не только наглядность, но и, что наиболее ценно, позволяет производить инженерную планировку работ, является своеобразным «банком сведений», постоянно пополняемым и хранящимся вечно.
Развитие подземного способа ведения горных работ привело к осознанию необходимости разработки принципиально иного подхода к получению правильного представления «царства тартарары». От этого во многом зависело проектирование горных работ. Для выполнения этой задачи было необходимо разработать новые способы составления графических материалов, в которых с достаточной полнотой, точностью и наглядностью отображались бы пространственная характеристика геологических сведений о месторождениях и горные работы. Описательный способ представления геологической информации необходимо было пополнить наглядным, инженерным методом. Интеллектуальная аура планеты была подготовлена к восприятию новых идей не только в фундаментальных науках, но и в сугубо земной сфере деятельности человека. Так созревали предпосылки для объемного представления свойств горных пород. Возникновение идеи геометризации недр в этих условиях не является случайным и в полной мере соответствует естественно-историческому пути развития геометрии, геологии и физики.
Основоположник геометрии недр, как научной дисциплины в науках о Земле, П.К. Соболевский так формулирует задачу: «Если ты знаешь, то покажи и покажи так, чтобы всем было совершенно ясно и понятно, – а не можешь показать, значит, и не знаешь». Он понимал, что геологические явления не могут быть выражены аналитически, но зато графически они могут быть представлены достаточно наглядно и точно, если использовать к тому же маркшейдерские методы и способы отображения ситуации на планах. Так, удачное сочетание понимания задач производства и глубоких знаний по геодезии, маркшейдерскому искусству, астрономии, физике и математике плюс непосредственные навыки управления горным производством в условиях совершенной недостаточности информации о недрах, их свойствах, формах и т.д. способствовали зарождению идеи геометризации месторождений. Но все же этому предшествовало возникновение и развитие гениальных идей в геометрии.
С именем Ламберта наука связывает развитие картографии. В 1772 г. вышла в свет его работа о земных и небесных картах, которая вызвала не только общественный интерес, но и определила бурное развитие картографии ввиду исключительной практической ее полезности. Ламберт впервые установил общие принципы картографической поверхности и указал требования, которым должны удовлетворять карты. Он нашел несколько новых видов проекций, при которых сохраняется равенство углов и площадей. Существенный вклад в разработку основ сферической тригонометрии внес Л. Эйлер (1753 г.) и его учение о проекциях, показав, что точки шаровой поверхности могут быть изображены на плоскости по любому закону. Работы Л. Эйлера о картографических проекциях приводят к исследованиям Лагранжа, а впоследствии К. Гаусса о конформном отображении поверхностей на других поверхностях. Не признав очевидным пятый постулат Эвклидовой геометрии, Н.И. Лобачевский (1826 г.), Я. Бояи (1832 г.), Б. Риман (1854 г.) и, в какой-то степени, К. Гаусс открыли мир новых геометрий. Н.И. Лобачевский не только заложил фундамент, но и воздвиг на нем многоэтажное здание: он присоединил к элементарной геометрии неэвклидова пространства аналитическую и дифференциальную геометрии; Б Риман доказал принципиальную возможность конструирования геометрий с различными внутренними свойствами, исходя из основополагающего свойства поверхности – ее кривизны. И если геометрия Эвклида имеет право называться «параболической», то геометрия Н.И. Лобачевского – «гиперболической», а Б. Римана – «эллиптической».
С развитием техники возникает необходимость точного масштабного изображения объектов на плоскости с возможностью установления положения каждой точки этого изображения относительно других точек или плоскостей. Обобщая отдельные правила и приемы построения таких изображений, французский ученый Монж (1746-1818 гг.) в 1799 г. в труде «Geometric descriptive» дает основы разработанного им метода параллельного проецирования. Этот метод вошел в науку под общим названием «начертательная геометрия» и с 1810 г. стал предметом изучения в России в Институте корпуса инженеров путей сообщения. Таким образом, к концу ХIХ в. физика была обеспечена целой галереей фундаментальных геометрических образов окружающего нас мира звезд и галактик.
В связи с общими успехами эволюционного направления в геологии в этот период возникает генетическая минералогия, трактующая об условиях образования минералов на фоне общего развития земной коры. Одним из основателей этого направления был В.И. Вернадский – ученый-энциклопедист, труды которого посвящены геохимии, биохимии, учению о биосфере.
Геохимия – наука об истории атомов вещества; предмет геохимии – закономерности распространения атомов в земной коре, их поведение в магматических расплавах, холодных и горячих водных растворах, в живых организмах, атмосфере и других природных системах, их перемещение (миграция) из одних природных тел в другие. Сам термин «геохимия» был предложен еще в 1838 г. швейцарским хи миком Шёнбейном, который утверждал, что геологические науки должны обращать внимание на химическую природу масс и их происхождение. Во второй половине ХIХ в. сформировались предпосылки для становления геохимии как науки. Это, в первую очередь, открытие в 1859 г. Г.Р. Кирхгофом и Р. Бунзеном спектрального анализа, позволяющего определить «следы» химических элементов в горных породах, изучать химический состав космических тел и таким образом установить химическое единство Космоса. Другое событие связано с открытием Д.И. Менделеевым «Периодического закона» – строго научной систематики химических элементов. Большое значение имели исследования Ф.У. Кларка, который в 1889 г. сделал первую попытку вычислить средний химический состав земной коры. Необходимой предпосылкой стало складывающееся представление об атоме и его строении. Наконец, главная ось геохимии – это геологические науки. Геохимия выросла из минералогических исследований.
Первые геохимические труды В.И. Вернадского относятся к 1908-1910 гг.; курс геохимии как самостоятельной научной дисциплины впервые прочитал в 1912 г. ученик и соратник В.И. Вернадского А.Е. Ферсман. Таким образом, начало ХХ в. (до 1914 г.) – это период становления геохимии, определения предмета и объекта нового научного направления в цикле геологических дисциплин, оконтуривания области практического приложения, формирования целей и задач исследования. Развитие геохимии привело к возникновению понятия «комплексные руды», которое стало основным в оценке месторождений полезных ископаемых. Идеи геохимии представляют собой новый этап в развитии наук о Земле, дополняя традиционные направления исследований в геологии принципиально новыми сведениями.
Начало ХХ в. стало знаменательным и в маркшейдерском искусстве. Описательная геологическая характеристика месторождений в условиях интенсивно развивающихся горных работ перестала удовлетворять требованиям организации и безопасности ведения добычных работ. Отсутствие наглядности ограничивало пространственное представление обо всем комплексе проходческих и добычных выработок, о каждодневной изменяющейся ситуации в шахте. В этих условиях система двух измерений оказалась недостаточной. Время требовало широкого объемного представления – в систему маркшейдерских измерений вводится высотная координата Z, что знаменует собой становление качественно нового этапа развития.
В период 1900-1901 гг. у П.К. Соболевского зарождается идея изображения данных геологоразведочных работ в пространстве, что совместно с сетью горных выработок представляло бы собой объемную геометрическую модель рудника. Первым результатом такой работы стала гипсометрическая карта угольного пласта Харцизского рудоуправления района Нижняя Кринка Донбасса. В 1902 г. на I Южно- русском съезде работников прикладной геологии и разведки он поднимает два важнейших вопроса: о геометризации месторождений и об организации в институтах отделений по подготовке инженеров-маркшейдеров.
Знание основ математики, геометрии, физики, геологических дисциплин, производственный опыт работы на горных предприятиях, астрономия, геодезия, знание языков, исключительная музыкальность и, несомненно, смелый пытливый нрав – все это в совокупности подтолкнуло П.К. Соболевского к проведению аналогии физического поля с геохимическим полем верхних слоев земной коры. Применив метод изолиний для отображения качественных свойств горных пород, он смог наблюдать структурные особенности геохимического поля. В период 1903-1920 гг. в Томском институте под его руководством выполнен целый ряд работ по изучению тектоники месторождений северного Кузбасса на основе геометризации шахтных полей. В этот период он впервые в России поставил магнитную разведку на железные руды в районе Темир-Тау и разработал метод подсчета запасов с использованием изолиний. Сегодня этот метод носит его имя. В 1920 г. П.К. Соболевский переводится в Свердловский горный институт, где и проработал до 1933 г. Здесь он организовывает кафедры маркшейдерского дела и геофизических методов разведки, первую на Урале службу времени; на базе специализированной лаборатории в 1928 г. создается НИИ геофизических методов разведки и горной геометрии. Обобщая свои исследования за 25 лет, он в 1925 г. на I Всесоюзном горно-техническом съезде впервые изложил публично идеи геометрии недр, а в 1932 г. дал цельное изложение геометрии недр как нового научного направления в горной науке.
В 1933 г. П.К. Соболевский переводится в Москву для организации подготовки инженеров-маркшейдеров в Московском геологоразведочном институте, а затем – в Московском горном институте, где проработал до 1949 г. Последние годы он разрабатывал вопросы геометрической интерпретации свойств физического поля в связи с изучением закономерностей сдвижения горных пород и земной поверхности под влиянием подземного способа отработки месторождений. Им разработан деформатограф – прибор автоматической регистрации сдвижения поверхности. Он оставил после себя плеяду выдающихся учеников, которые расширили горизонт практического приложения методов геометрии недр как при разведке месторождений, так и их отработке.
Итак, в один исторический период в одной стране родились две великие идеи, определившие направления развития Геологии и Горной науки в ХХ в. Данные разведки и опробование пород, слагающих массив, подталкивали к мысли о том, что имеют место определенные геометрические закономерности в изменении концентраций химических элементов. Эти закономерности обусловлены генезисом горных пород, условиями их формирования, тектоническими процессами, происходящими в верхних слоях литосферы. Причинные факторы литогенеза не измеряемы, но следствия этого процесса проявляются в реальных концентрациях химических элементов, напряженном состоянии массива, в тепло- и гидрорежимах горных пород. Все это послужило предпосылкой для обозначения пространства литосферы, в котором проходят сложные физические и химические процессы, геохимическим полем. Российский приоритет в горной науке с этих пор стал очевидным.
Таким образом, начало ХХ в. подвело итог накопившимся знаниям по всему фронту созданием новых теорий в науке и, что наиболее значимо, их аналитических основ. У В.И. Вернадского были предшественники, но только его эрудиция, широкий взгляд на Естествознание и масштабность геологических исследований в России позволили ему увидеть в нашей планете не просто космический объект, а некий конгломерат химических элементов и соединений, имеющих свою историю и определяющих жизнь планеты. Потребовался гений П.К. Соболевского, чтобы аморфные представления о химизме Земли представить в наглядной форме.
Однако, будет грубым упрощением сводить идею П.К. Соболевского о геометризации месторождений как метода геометрического моделирования к способу построения изолиний – линий равного значения признака. Сам метод изолиний возник давно и использовался для отображения глубин в гаванях, рельефа поверхности в топографии, магнитного и электрического полей в физике. Заслуга П.К. Соболевского перед Естествознанием состоит в том, что он продолжил серию открытий в физике о геометрии космического пространства, перенеся их на внутреннее строение литосферы Земли. Хорошие знания математики и физики позволили ему совершенно не формально идею физического поля перенести в область исследований химизма структур и тектоники недр. Он прекрасно сознавал, что метод аналогии не относится к строгим научным методам.
Геохимическое поле принципиально отличается от физического уже тем, что в нем не представляется возможным установить нечто подобное закону Кулона или Ньютона о взаимодействии двух тел. Геохимическое поле Земли, с одной стороны, есть результат длительного исторического развития планеты, а с другой – это физическая среда, в которой происходят различного рода процессы и которая сама служит проводником и источником также различных явлений. П.К. Соболевский понимал, что геохимическое поле невозможно описать аналитически, загнать его в некую систему уравнений. Однако, изображая его геометрически, в форме скалярного или векторного поля с помощью изолиний, мы получаем графоаналитическую модель некоторого участка этого поля. К третьей особенности геохимического поля мы должны отнести его замкнутость, ограниченность, конечность, которые совершенно естественным образом определяются геометрическими размерами Земли. Расширяя это представление, мы должны сказать то же самое и относительно космических тел.
Геометрия недр представляет собой самостоятельное научное направление в исследовании недр, объединяющее различные математические методы изучения форм, свойств и процессов в земной коре с непременным учетом геометрических элементов объекта исследования и его пространственного положения. П.К. Соболевский так определил сущность геометрии недр: «Современная горная геометрия есть строгая физико-математическая методика промышленной характеристики разведываемых недр… В своей теоретической части это физико-математический или, если угодно, геометрический анализ геохимического поля в связи с целым рядом следствий, вытекающих из этого анализа. В своей прикладной части современная горная геометрия имеет своим объектом и промышленно-геологическую разведку недр, и соответствующие задачи горного искусства, и рационализацию проектирования по горному искусству». Для решения этих задач надо было создать новые методы исследования, новый математический аппарат, новые способы изображения. Заслуга П.К. Соболевского перед горной наукой и для естествознания в целом состоит в том, что он способствовал развитию геометрических методов исследования недр. Он вводит новое понятие – геохимическое поле, которое в исходных теоретических положениях является полным аналогом геофизического поля, т.е. свойства этого поля рассматриваются как функция точек пространства и времени.
В силу анизотропности свойств пространства недр аналитические методы дополняются геометрическим представлением геологоразведочной информации на планах, разрезах, различных проекциях. Основным методом исследования минерализации становится метод изолиний, теоретическое и практическое значение которого вытекает из общего теоретического анализа геохимического поля. П.К. Соболевский обосновывает условия применимости этого метода и разрабатывает основные математические действия над топографическими поверхностями: сложение, вычитание, умножение, деление, логарифмирование, дифференцирование и интегрирование. Он показал, что если функция U = f (х, у, z, t), выражающая количественную характеристику геохимического поля, удовлетворяет условиям конечности, однозначности, непрерывности, плавности, то такое поле, в полном соответствии с теорией силового поля, имеет слоисто-струйчатую структуру. Это положение приводит к понятию геохимического потока, который является полным аналогом соответствующего силового потока. Поверхность, аналогичная топографической, приобрела в анализе геохимического поля значение особого математического алгоритма, подобно алгебраическому выражению (уравнению) в математическом анализе. Таким образом, система изолиний приобрела смысл графоаналитического метода изображения определенного класса математических функций. Эта мысль особенно четко подчеркнута математиком Мангеймом в его безосной начертательной геометрии. Но если начертательная геометрия является универсальным и незаменимым методом точного изображения форм, то метод изолиний является графоаналитическим методом изображения пространства, заполняющего данную форму, свойства рассматриваемого пространства.
Раскрывая область прикладного характера, П.К. Соболевский указывает на тесную связь разработанного им метода с задачами геологии и разведочного дела. Он следующим образом определяет место геометрии недр: «Место, которое мы отводим современной горной геометрии в общем комплексе геологоразведочных работ, в известной мере может быть представлено следующей схемой: 1) научная геология, 2) промышленная разведка, 3) техника разведки, 4) геофизические методы разведки,
5) современная горная геометрия». Он обосновывает принцип наименьших работ и принцип оптимума: «Каждая разведочная единица должна быть строго обоснована…, принцип «необходимо и достаточно» должен быть руководящим в рассматриваемом вопросе…, ни одной лишней буровой скважины, ни одного лишнего разведочного шурфа». Метод изолиний подводит под этот вопрос чисто научный фундамент, поскольку является совершенно незаменимым критерием правильного соотношения между заданной степенью точности и количеством необходимых для этого наблюдений.
В Свердловском горном институте под руководством П.К. Соболевского в 30-х годах маркшейдером П.А. Смольниковым выполнены геометрические работы на Магнитогорском руднике в период проектирования нового металлургического комплекса. Вслед за горой Магнитной проведена геометризация Бакальского и Гороблагодатского железорудных месторождений. В 1931 г. специально организованная экспедиция под руководством П.А. Рыжова выполнила обширные геометрические работы Кизиловского угольного района. В результате впервые была составлена структурно-геометрическая пластовая карта целого угольного бассейна. На основе этих материалов произведено проектирование и строительство угольных шахт в годы первых советских пятилеток. В 1933-1934 гг. под руководством А.А. Игошина произведены большие работы по геометризации Челябинского буроугольного бассейна. Участвуя в решении вопросов освоения Челябинского бассейна, академик А.Д. Шевяков подчеркивал, что успешное проектирование горных предприятий в сжатые сроки стало возможным только благодаря наличию горно-геометрических графиков.
Положительные результаты этих работ дали основание для апробации метода геометризации на меднорудных месторождениях Урала (Дегтярск, Палата, Карпушиха). В 1931-1934 гг. коллектив кафедры маркшейдерского дела Свердловского горного института (под руководством П.К. Соболевского и Г.И. Вилесова) разработал конкретные методики геометризации Бакальского железорудного и Мелентьевского полиметаллического месторождений, дражного полигона № 3 треста «Миассзолото». За годы работы на Урале (1920-1933 гг.) П.К. Соболевский создает школу маркшейдеров и геофизиков-разведчиков с горно-геометрическим уклоном. Из этой школы вышли продолжатели его работ, профессора П.А. Рыжов, Д.Н. Оглоблин, А.А. Юньков, В.Н. Головицин, Г.И. Вилесов, А.А. Игошин, Г.П. Саковцев. Он, отмечает: «Без всякого преувеличения и лишь отдавая должное колоссальным горно-геометрическим работам, которые дружно ведутся нашими молодыми инженерами на рудничных предприятиях Урала, мы можем говорить об уральской горно-геометрической школе». А в предисловии к работе Д.Н. Оглоблина «Выбор места заложения шахты» (1935 г.) он, как бы подытоживая деятельность нового направления, писал: «… Справедливость требует отметить, что для усвоения новых идей геометрии недр специалистами и горнорудными предприятиями подвигалось сначала весьма медленно. Слишком трудно было преодолеть инерцию вековых авторитетных традиций в различных областях техники. И только на Урале (с 1920 г.) новые идеи геометризации недр были подхвачены дружным коллективом молодых энтузиастов, сумевших отбросить тормозящую живое дело рутину и стать пионерами рационализации горнорудного производства на базе всесторонней его геометризации… Уральской школой горных геометров сделана немалая работа по внедрению геометрии недр в горнорудное производство».
После отъезда П.К. Соболевского в Москву в 1933 г. кафедру маркшейдерского дела и геометрии недр в Свердловском горном институте возглавил Г.И. Вилесов, под руководством которого горно-геометрические исследования получили свое дальнейшее развитие на Урале. С 1945 по 1975 гг. коллективом кафедры проведена геометризация россыпных и коренных месторождений золота на Урале, выполнены горно-геометрические работы на асбестовых (Баженовское, Джетыгаринское, Актовракское), железорудных (Качканарское, Соколовско-Сарбайское), никелевых (Уфалейское, Кимперсайское) месторождениях. Московская школа горных геометров (П.А. Рыжов, А.А. Трофимов, В.А. Букринский, В.М. Гудков), А.Ж. Машанов, А.К. Коюпов, К.Ф. Ермолаев (Казахский политехнический институт) в развитие идей П.К. Соболевского провела широкомасштабные геометрические работы в Подмосковном угольном бассейне и Донбассе, на полиметаллических и цветных месторождениях Казахстана, в Карагандинском бассейне. Давая оценку горно-геометрическому направлению исследований в горном деле, академик Н.В. Мельников отмечает, что задачи проектирования, выдвигаемые горной промышленностью, «могут быть успешно выполнены в том случае, если важнейшие решения, принимаемые при проектировании горных предприятий, будут оптимальными, чего можно достичь, применяя методы экономико-математического моделирования». А академик В.В. Ржевский подчеркивает, что «геометрией недр П.К. Соболевский подвел математическую базу под геологические интерпретации, являющиеся, в конечном итоге, основой для правильного проектирования освоения месторождения, оптимального развития горных работ, целесообразного использования соответствующей современной горной техники и технологии, рационального использования минерального сырья».
К началу шестидесятых годов ХХ в. в горной промышленности страны создались объективные предпосылки для интенсивного ввода новых мощных месторождений железных руд, цветных металлов, нефти, газа, серы, солей и других полезных ископаемых. Накопленный опыт горно-геометрических исследований подсказывал, что с появлением новой вычислительной техники значительно расширяются возможности применения методов математической статистики, теории вероятностей и других разделов математики в геометрии недр. Развитие аналитических методов в геометрии недр стало основным направлением научного поиска: П.П. Бастан, А.В. Гальянов – Екатеринбург; В.А. Букринский, Ю.В. Коробченко, В.М. Гудков, А.М. Марголин, А.Б. Вистелиус – Москва; Д.А. Казаковский, З.Д. Низгурецкий – Санкт-Петербург; Л.И. Четвериков – Воронеж; В.В. Богацкий – Красноярск; И.В. Франкций, Г.А. Базанов – Иркутск; Е.Д. Фролов, Л.Ф. Дементьев, Р.А. Егоров – ВНИИнефть и многие другие.
Распространение методов геометрии недр на решение горных задач, связанных с комплексным использованием запасов, полнотой и качеством их извлечения, проектированием горных работ, управлением производственными процессами на базе непрерывного контроля качества сырья в технологических потоках и применения современной вычислительной техники, позволяет говорить о том, что идеи П.К. Соболевского получили свое развитие и в комплексе с методами математического анализа, теории вероятностей и информатики, значительно расширили область предмета исследований, сформировав строгую физико-математическую методику исследования процессов горного производства – горно-геометрический анализ. П.К. Соболевский указывал в связи с этим, что «рассматриваемая под этим углом зрения система изолиний приобретает совершенно особый смысл графо-математического метода изображения определенного класса математических уравнений, приводящих к системе непересекающихся изолиний… – это не рисунок, не чертеж в обычно принятом смысле этого слова, это определенный математический метод изображения функций, … метод изолиний, понимаемый в вышеуказанном смысле, является графо-математическим методом изображения пространства, заполняющего данную форму».
Зарождение идеи геометризации форм, свойств и процессов, ее становление и развитие были предопределены объективными естественно-историческими предпосылками переосмысления картины мироздания, отношения к недрам и процессам, которые в них происходят.
Таким образом, ХIХ в. подготовил объективные науч- ные предпосылки для переосмысления картины мироздания, отношения к недрам и процессам которые в них происходят. Геометрия как наука о формах и образах была подготовлена к необходимости решения широкого круга проблем, связанных с изучением недр в зоне промышленного интереса человечества. Для этого необходимо было только создать единый, научно обоснованный метод обработки ценнейшего информационного материала, который бы представлял и геологоразведочные работы, и данные отработки месторождений. Идея геометризации недр не могла появиться раньше, и поэтому исторически было совершенно неизбежным ее возникновение и становление только в первой четверти ХХ века.
